Застосування цілих гаусових чисел

Abstract

Дипломна робота присвячена дослідженню алгебраїчних, геометричних та прикладних властивостей цілих гаусових чисел — комплексних чисел із цілими дійсною та уявною частинами. Метою дослідження є аналіз структури кільця гаусових чисел та вивчення можливостей його застосування у теоретичних і прикладних задачах сучасної математики. У дипломній роботі проаналізовано алгебраїчну природу гаусових чисел, зокрема їх подільність, простоту, факторизацію, а також властивість евклідовості, що забезпечує можливість ділення з остачею. Розглянуто геометричне уявлення гаусових чисел як ґратки на комплексній площині та використання норми як метричної характеристики. Особливу увагу приділено застосуванню гаусових чисел у розв’язуванні діофантових рівнянь, побудові криптографічних схем на основі решіток, цифровій обробці сигналів із використанням алгоритмів швидкого перетворення Фур'є (FFT), а також в економічному моделюванні. У роботі реалізовано низку алгоритмів на мові Python та подано приклади їх практичного застосування в задачах оптимізації, кодування та візуалізації даних.